Abstract lezioni 2027

Alcune lezioni sono divise in due moduli, in modo che ogni studente possa scegliere se affrontare la trattazione avanzata o di base, in funzione delle proprie conoscenze. Per motivi logistici, verrà chiesto ad ogni studente ammesso allo stage di indicare se vuole seguire il modulo avanzato o il modulo di base per ogni lezione, ma questa scelta non ha alcuna influenza sul processo di ammissione. La compilazione avviene infatti dopo che il processo di selezione è stato completato.

Analisi

Lezione base

La prima parte della lezione sarà dedicata alle principali tecniche di risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie, con particolare attenzione al riconoscimento della struttura delle equazioni e alla scelta del metodo appropriato. Si passerà quindi agli sviluppi di Taylor in una variabile, esaminandone il ruolo nell’analisi locale delle funzioni e nei problemi di approssimazione, insieme alle condizioni necessarie per un loro impiego corretto. Esempi ed esercizi metteranno in evidenza i passaggi delicati e le difficoltà ricorrenti nell’applicazione di questi strumenti. La seconda parte affronterà il calcolo differenziale e integrale in più variabili, introducendo le derivate parziali e gli operatori differenziali sui campi scalari e vettoriali: gradiente, rotore e divergenza. L’attenzione sarà rivolta al loro significato geometrico e alle nuove difficoltà che emergono nel passaggio da una a più variabili. Il percorso si completerà con cenni all’integrazione su superfici e volumi.

Lezione avanzata

La prima parte della lezione tratterà le basi della teoria dell'integrazione su curve, superfici e volumi, introducendo una motivazione geometrica per le definizioni ed enunciando i teoremi della divergenza e di Stokes. In seguito saranno discusse alcune strategie risolutive più avanzate per equazioni differenziali ordinarie. Infine introdurremo la tecnica della scrittura di funzioni generiche in termini di una base di funzioni di una data famiglia, con qualche esempio legato alla risoluzione di problemi.

Meccanica del corpo rigido

La prima parte della lezione si concentrerà sulle nozioni di base del calcolo vettoriale, in modo tale da poter studiare la dinamica del punto materiale e dei sistemi di punti materiali, anche in sistemi di riferimento non inerziali. In seguito, partendo dalla definizione di corpo rigido, si analizzeranno le caratteristiche generali del suo moto, determinate dal teorema di Chasles. A partire dall’espressione del momento angolare, si definirà il tensore d’inerzia, soffermandosi sul concetto di assi principali e arrivando così a ricavare le equazioni di Eulero. Infine, verrà analizzato il moto delle trottole libere, introducendo anche l’ellissoide di Poinsot.

Meccanica celeste

All'inizio della lezione introdurremo le coordinate polari, cilindriche e sferiche; risolveremo il problema di moto in campo gravitazionale Newtoniano, introducendo il potenziale efficace e ricaveremo l’equazione di Binet per le orbite in campi radiali. Discuteremo durante la trattazione delle quantità conservate del moto e le ipotesi dietro tali conservazioni. Successivamente discuteremo la riduzione del problema di due corpi al problema di un singolo corpo nel campo di un attrattore. Tramite il vettore di Lenz introdurremo l’odografo del moto e le importanti applicazioni annesse. Infine vedremo strategie risolutive ricorrenti nei problemi di meccanica celeste

Termodinamica

Lezione base

La lezione tratterà i concetti fondamentali della termodinamica, come la definizione di equilibrio termodinamica, di variabili termodinamica, la legge zero della termodinamica, un piccolo excursus su cos'è la temperatura, la prima legge e le varie formulazioni della seconda legge della termodinamica. Si aprirà poi una breve parentesi sulla teoria cinetica dei gas, per usarla in ambiti piu o meno familiari (dalla legge del gas ideale alla legge di Stefan-Boltzamann). Si tratteranno poi le varie trasformazioni termodinamiche, concentrandosi sul concetto di trasformazione reversibili e irreversibili. Da quest'ultimo temo, si darà infine una trattazione esaustiva del concetto di entropia, dandone diverse interpretazioni, dalla termodinamica alla statistica, per arrivare anche al suo legame con l'informazione.

Lezione avanzata

Cominceremo con un brevissimo ripasso della termodinamica classica e una rapida introduzione al formalismo necessario per trattare la teoria statistica. Introdurremo poi la teoria statistica, definendo il concetto di ensemble e le funzioni di partizione ad esso associate. Ci soffermeremo soprattutto sullo studio del gas perfetto. Vedremo vari esempi di sistemi più o meno complessi e verificheremo come i risultati predetti da questa nuova teoria siano in accordo con quelli della termodinamica classica. Infine (tempo permettendo) faremo accenno ad alcuni problemi che insorgono da questa nuova teoria e come la loro soluzione naturale sia quella di passare ad una teoria quantizzata.

Analisi dei dati

Introdurremo i concetti di misura, di incertezza associata e la sua propagazione. In seguito saranno esposti i principali metodi di fit utilizzabili durante una prova sperimentale, compreso l'utilizzo di base della modalità "statistica" delle calcolatrici scientifiche ammesse. Si darà inoltre qualche consiglio generale per affrontare una prova sperimentale. La lezione terminerà con una sessione di esercizio all'analisi su dati simulati che vi forniremo.

Elettromagnetismo

Lezione base

La lezione sarà un'introduzione all'elettrostatica con un accenno di magnetostatica, con lo scopo di fornire gli strumenti fondamentali alle gare di fisica. Gli argomenti trattati saranno: legge di Coulomb, principio di sovrapposizione, legge di Gauss, condizioni al bordo, uso delle simmetrie, conduttori e introduzione al metodo delle cariche immagine, magnetismo e forza di Lorentz.

Lezione avanzata

Lo scopo della lezione di secondo livello è di mostrare le tecniche per affrontare problemi avanzati di elettromagnetismo. Nello specifico parleremo di leggi di Maxwell in forma differenziale, nuovi problemi avanzati in elettrostatica ed elettrodinamica, equazione d’onda ed aspetti di elettromagnetismo nei materiali.

Relatività

Lezione base

Partendo dai problemi di compatibilità tra meccanica classica ed elettromagnetismo, si sviluppa la teoria della relatività ristretta dai suoi postulati. Se ne traggono le principali conseguenze: perdità della simultaneità, dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze. Si arriva così a scrivere le trasformazioni di Lorentz, da cui si ricava la composizione relativistica delle velocità. Si passa poi all'approccio geometrico dei diagrammi di Minkowski reinterpretando i risultati ottenuti in precedenza. Vengono fornite le nuove definizioni di energia e quantità di moto e si studiano i processi di urto e decadimento attraverso il formalismo dei quadrivettori. Si conclude derivando l'effetto Doppler longitudinale e trasversale.

Lezione avanzata

La lezione ha come scopo quello di effettuare la transizione dalla Relatività Ristretta alla Relatività Generale. Quello di cui spero di convincervi entro la fine della lezione è il perché la gravità si manifesti come una deformazione dello spaziotempo. Per farlo, svilupperemo l'intuizione necessaria tramite numerosi "toy-models" e adotteremo un approccio quanto più grafico possibile tramite diagrammi di Minkowski. Il programma sommario di quello che verrà fatto è il seguente: Costruzione geometrica dello spaziotempo: cenni sul formalismo covariante, costruzione di quantità invarianti, discussione riguardo la causalità. Moto Accelerato e studio delle sue proprietà tramite diagrammi di Minkowski, con discussione di alcuni "paradossi" relativistici e la loro risoluzione (Paradosso dei Gemelli, Paradosso di Ehrenfest). Elementi di Relatività Generale: Covarianza Generale e Principio di Equivalenza: Esperimenti Mentali ed Equazione del Moto di un punto materiale in presenza di gravità.

Problemi di stima e di scaling

Quanta pioggia cade mediamente in un anno sulla Terra? Come varia la frequenza cardiaca dei mammiferi in funzione della loro massa? Quanto tempo impiega una sfera rovente a raffreddarsi in acqua? Quanto vale l'altezza massima che una montagna può avere sulla Terra? Queste e altre domande troveranno risposta durante la lezione, che sarà incentrata su problemi di stima e di scaling, assistiti occasionalmente dall'analisi dimensionale.