Abstract lezioni 2025

Alcune lezioni sono divise in due moduli, in modo che ogni studente possa scegliere se affrontare la trattazione avanzata o di base, in funzione delle proprie conoscenze. Per motivi logistici, verrà chiesto ad ogni studente ammesso allo stage di indicare se vuole seguire il modulo avanzato o il modulo di base per ogni lezione, ma questa scelta non ha alcuna influenza sul processo di ammissione. La compilazione avviene infatti dopo che il processo di selezione è stato completato.

Matematica

Lezione base

La prima parte della lezione sarà dedicata alla risoluzione delle ODE più comuni. Successivamente verrà introdotta l’espansione di Taylor in una variabile, illustrandone l’importanza e le numerose applicazioni, con esempi ed esercizi pratici. Nella seconda parte si passerà al calcolo multivariabile, con un’introduzione alle derivate parziali, al gradiente, al rotore e alla divergenza, oltre a cenni sull’integrazione su superfici e volumi.

Lezione avanzata

La prima parte della lezione tratterà in modo generale la risoluzione di ODE lineari a coefficienti costanti; in tale contesto saranno anche fornite a livello intuitivo le nozioni di linearità e spazio vettoriale. Utilizzando questi concetti, forniremo una giustificazione della scrivibilità delle funzioni periodiche come serie di Fourier. Infine, mostreremo alcune applicazioni particolarmente significative delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni differenziali, accennando anche all'utilizzo di basi diverse da quella trigonometrica.

Meccanica celeste

In questa lezione discuteremo di gravità newtoniana. Nella prima parte della lezione studieremo il moto in campo centrale e in particolare introdurremo le coordinate polari e le rilevanti quantità conservate. Ricaveremo il potenziale efficace e lo useremo per studiare qualitativamente le orbite. Nella seconda parte della lezione spiegheremo il teorema del viriale e alcune sue applicazioni. Inoltre sfrutteremo gli strumenti della prima parte per spiegare la formazione degli anelli di Saturno. Infine studieremo la correzione al potenziale efficace dovuta alla relatività generale e come da questa possiamo intuire l'esistenza dei buchi neri.

Meccanica del corpo rigido

Partendo dalle nozioni fondamentali del calcolo vettoriale, la prima parte della lezione analizza la dinamica del punto materiale, con particolare attenzione ai concetti di forza conservativa ed energia. Dopo una breve parentesi sui sistemi di riferimento non inerziali, si passa alla trattazione della dinamica dei sistemi di punti materiali. Vengono introdotti il centro di massa, le equazioni cardinali e i teoremi di König. Successivamente si tratta il corpo rigido, partendo dalla relazione tra le velocità di coppie di punti, per poi discutere quando è possibile usare la seconda equazione cardinale, soffermandosi sul concetto di centro istantaneo di rotazione. Infine si studia il corpo rigido in tre dimensioni, definendo il tensore di inerzia e ricavando le equazioni di Eulero.

Termodinamica

Lezione base

L'argomento centrale di questa lezione sono i concetti e i risultati fondamentali della termodinamica classica. Partiremo dalle grandezze fondamentali, volume, pressione e temperatura, per enunciare i principi fondamentali della termodinamica e definire grandezze più complesse, quali l'energia interna e l'entropia. Per trattare questi argomenti introdurremo il formalismo matematico dei differenziali esatti e delle derivate parziali. Accenneremo anche alla teoria cinetica del gas perfetto e alla sua evoluzione nella meccanica statistica, ai gas reali, e a come trattare processi non reversibili.

Lezione avanzata

Dopo un veloce ripasso dei concetti base della termodinamica, quali i principi fondanti, i potenziali e il concetto di equilibrio, si fornirà un'introduzione alla teoria cinetica dei gas e soprattutto al formalismo della meccanica statistica. Appresa la nozione di funzione di partizione, si lavorerà nella trattazione ad ensemble per descrivere alcuni dei più semplici sistemi termodinamici, e.g. gas ideali, radiazione di corpo nero e gas di Van der Waals. La speranza è di trasmettere l'efficacia e la versatilità che questi strumenti forniscono. Si prevede, inoltre, di discutere di alcuni fenomeni dovuti alla tensione superficiale.

Fluidodinamica

Dopo un breve antipasto idrostatico, i primi piatti saranno basati sull'equazione di Bernoulli e sulle sue ipotesi di lavoro: verranno discussi i miti e gli errori più diffusi sia tra gli studenti che tra gli insegnanti. Per ognuna delle ipotesi di lavoro, verranno forniti esempi di non-applicabilità. Le seconde portate conterranno delle generalizzazioni dell'equazione di Bernoulli, in grado di superare i limiti di non-applicabilità incontrati precedentemente. Il dolce avrà un sapore sperimentale, con una dimostrazione fatta dal vivo. Caffè e ammazzacaffè non pervenuti.

Analisi dei dati

Introdurremo i concetti di misura, di incertezza associata e la sua propagazione. In seguito saranno esposti i principali metodi di fit utilizzabili durante una prova sperimentale, compreso l'utilizzo di base della modalità "statistica" delle calcolatrici scientifiche ammesse. Si darà inoltre qualche consiglio generale per affrontare una prova sperimentale. La lezione terminerà con una sessione di esercizio all'analisi su dati simulati che vi forniremo.

Elettromagnetismo

Lezione base

La lezione introduttiva fornirà gli strumenti fondamentali per affrontare problemi di elettrostatica e magnetostatica. Tratteremo la legge di Coulomb, il teorema di Gauss, i conduttori, i condensatori e le leggi della magnetostatica, evidenziando l’importanza delle simmetrie per la risoluzione dei problemi. Sarà inoltre introdotta la tecnica delle cariche immagine per l’analisi di campi elettrostatici in presenza di conduttori.

Lezione avanzata

Lo scopo della lezione di secondo livello è di mostrare le tecniche per affrontare problemi avanzati di elettromagnetismo. Nello specifico parleremo di leggi di Maxwell in forma differenziale, aspetti avanzati dell'elettrostatica (in particolare il metodo delle immagini), equazione di continuità, magnetismo, equazione d'onda e teoria della diffrazione.

Relatività

Lezione base

L'obiettivo della lezione è introdurre i concetti essenziali della Relatività Ristretta, con esempi concreti di effetti fisici come l'effetto Doppler, la perdita di simultaneità o la trasformazione relativistica del campo elettromagnetico. Introdurremo brevemente alcuni nozioni matematiche utili alla comprensione della teoria, come elementi di Geometria Differenziale (vettori, covettori, tensori e tensore metrico). Seguirà poi un ripasso della Relatività Galileiana. Introducendo i postulati di corrispondenza e di invarianza della velocità della luce, arriveremo quindi alla Relatività Ristretta. Verranno trattate trasformazioni di Lorentz (infinitesime e finite, con effetti di contrazione/dilatazione relativistici), esempi di 4–vettori e 4–scalari rilevanti ai fini di soluzione dei problemi; infine si accennerà brevemente alla Dinamica Relativistica.

Lezione avanzata

La lezione sulla relatività ristretta segue un approccio geometrico e visivo, partendo dai postulati e dalla necessità di covarianza delle equazioni di Maxwell. Si passa poi a studiare la geometria dello spaziotempo con la metrica e i diagrammi di Minkowski, applicandoli in diversi scenari. Successivamente si descrive il moto uniformemente accelerato in relatività ristretta tramite le coordinate di Rindler (con esempi, quali il paradosso di Bell e delle osservazioni sull' esistenza di un orizzonte degli eventi), e si conclude mostrando la forma covariante delle equazioni di Maxwell. Esempi ed ulteriori applicazioni (quali, ad esempio, il famoso paradosso dei gemelli) completano il quadro della lezione.